매거진한경

기대 수익 무한대인 도박에 참여하지 않는 이유 [장동한의 리스크 관리 ABC]

[장동한의 리스크 관리 ABC]동전 던지기 게임을 생각해 보자. A가 동전을 던져 앞면이 나오면 B는 A에게 2달러를 주고 게임은 끝나고 뒷면이 나오면 A는 다시 동전을 던진다.만약 두 번째 던지기에서 앞면이 나오면 B는 A에게 2의 2제곱달러($2²)를 지불하고 게임은 끝나는데, 뒷면이 나오면 A는 다시 동전을 던지게 된다. 이런 식으로 동전의 앞면이 나올 때까지 게임이 계속되는데 만약 n번째 던지기에서 앞면이 나오면 B는 A에게 2의 n제곱달러($2ⁿ)를 지불해야 한다.오랫동안 계속 뒷면이 나오다가 결국 언젠가 앞면이 나오면 A는 큰돈을 받게 될 것이다. 그렇다면 이 게임에 참여하기 위해 A는 B에게 얼마만큼의 참가비를 지불할 수 있을까. 물론 개인에 따라 차이는 있겠지만 10달러 이상의 참가비를 내고 이 게임에 참여하는 사람은 드물 것이다.왜 사람들은 큰돈을 벌 수도 있는 이 동전 던지기 게임에 10달러 이상을 지불하려고 하지 않는 걸까. 18세기 스위스의 수학자 다니엘 베르누이가 러시아의 상트페테르부르크에서 강의하며 착안했다고 해서 ‘상트페테르부르크의 역설’이라고 불리는 문제를 분석하기 위해 이 게임의 기댓값을 구해 보자.정상적인 동전을 던졌을 때 앞이나 뒤가 나올 확률이 50 대 50이라는 것을 유념하자. ‘$2(1/2) + $2²(1/2)² + $2³(1/2)³ + … = $1 + $1 + $1 + … = ∞.’ 이처럼 무한대의 기댓값을 갖는다. 실제 동전을 던졌을 때 계속 뒷면이 나오는 경우는 세 번 이상을 넘기기 힘들다.세 번째에 앞면이 나와 8달러(2의 3제곱달러)를 받고 게임이 끝날 확률이 90%에 가깝다. 상트페테르부르크의 역설은 우리가 의사 결정에 많이 사용하고 있는 기댓값 기준

2021.07.23 06:20:03